Navier Stokes Denklemi ve Akışkanlar Mekaniği

Navier Stokes Denklemi ve Akışkanlar Mekaniği [N-S]

Akışkan denince aklımıza ilk gelen su'dur. . Başka akışkan maddeler nelerdir.. Akışkanların bir hareket denklemi var mıdır? işte bütün sorularınız yanıtı Navier Stokes adı verilen denklemde gizli, gelin hep beraber akışkanların gizemli dünyasına bir yolculuk yapalım...

Akışkan denilince aklımıza ilk gelen SU'dur

Bu makalemizde Navier Stokes denklemini (N-S)  inceleyip akışkanların gizemli dünyasında adım atacağız.

• Akışkanlar mekaniğine genel bir bakış
• Akışkanların Sınıflandırılması
• Newton tipi ve Newton tipi olmayan akışkan ayrımı
• İdeal akışkan
• Navier-Stokes denlemi (N-S)
• Navier-Stokes (sıkıştırılamaz Newton tipi(viskozite sabit) akışkanlar için incelenmesi)
• N-S yaklaşımları

Navier Stokes Denklemin Adı Nereden Gelmektedir.?

(Claude Louis Marie Henri Navier) 
(D:1785Dijon –Ö:1836, Paris) 
Fransız mühendis ve fizikçi

George Gabriel Stokes  

(D:1819 –Ö:1903) 

İrlandalı matematikçi ve fizikçi

Navier-Stokes denklemleri adı Navier ve Stokes'un adına akışkanlar mekaniğine katkılarından dolayı ithafen verilmiştir.

• Akışkanlar mekaniğine genel bir bakış,
• Akışkan nedir? Akışkanların fiziksel özellikleri 
• Akışkanların sınıflandırılması
• Süreklilik denklemi nedir?
• Günlük Yaşantıda Akışkanların Yerleri.
• Akışkanlar Mekaniği Hangi Meslek Dallarında kullanılır. 

Akışkan nedir?

Olanaklı en küçük kesme gerilmesi etkisinde dahi,sürekli olarak şekil değiştirebilen maddeye akışkan denir.

Akışkanların fiziksel özellikleri Nelerdir?
Birim Hacim Ağırlığı: N/m³ Bir cismin birim hacmindeki (1cm,1m vb) bir parçasının ağırlığına o cismin birim hacimdeki ağırlığı denir

Yoğunluk : kg/m³ Homojen bir yapıya sahip maddenin birim hacminin kütlesi

Sıkışabilme Maddelerin sıkışabilme özelliği tanecikler arasındaki boşluk miktarına bağlıdır.

Viskozite Akışkanların akmaya karşı gösterdikleri direnç

Yüzeysel Gerilme ve Kılcallık
Yüzeydeki bir atoma içerideki atomlar tarafından uygulanan çekme kuvveti dengelenmemiştir. Bu olaya yüzey gerilmesi adı verilir ve bu gerilme dengelenmemiş kuvvetlerin bileşkesine eşittir.

Süreklilik denklemi nedir?

Bir akışkanda kütle ve hacmin zamana ve konuma göre değişimiyle ilgilidir Akışkanda alınan bir kontrol hacminin genel süreklilik denklemi

yoğunluk

Günlük Yaşantıda Akışkanların Yerleri

• Meteorolojik (hava) olayları (yağmur, rüzgar, yangın, fırtına, sel),
• Çevreye zararlı olaylar (hava kirliliği, kirletici maddelerin yayılması),
• Isıtma, soğutma ve havanın şartlandırılması,
• Araçların motorlarındaki içten yanma olayı,
• Isı değiştiriciler, kimyasal reaktörler ve fırınlardaki kompleks akımlar,
• İnsan vücudundaki kan akışı, soluk alıp verme gibi olaylar.

Akışkanlar Mekaniği Hangi Meslek Dallarında kullanılır

• Mimarlıkta
• İnşaat Mühendisliğide
• Havacılık ve Uzay Mühendisliğide
• Tıpta
• Sanayi ve Endüstride
• Meteorolojide
• Araç Tasarımıda vs

Newton tipi ve Newton tipi olmayan akışkan nedir?

 
Newton tipi akışkanların deformasyon hızı kayma gerilmesi ile doğru orantılı olup lineerdir ve viskozitesi sabittir.

Örnek olarak: Su, hava,benzin,yağlar,vs. akışkanlar en çok bilinen Newton tipi akışkanlardır.

Newton tipi olmayan akışkanlar için; kayma gerilmesi ile deformasyon hızı arasındaki oran doğrusal değildir.

Bunlara Örnek:
(bazı boyalar, polimer çözeltileri ve süspansiyon halinde katı parçacıklı akışkanlar gibi daha fazla şekil değişimine zorlanması halinde daha az viskoz hale gelen akışkanlar) sanki plastikler veya incelen akışkanlar denir. Diş macunu gibi bazı maddeler sonlu büyüklükteki bir kayma gerilmesine karşılık koyabilir ve dolayısı ile bir katı gibi davranır. Ancak kayma gerilmesinin akma gerilmesini aşması halinde, sürekli şekil değiştirerek bir akışkan gibi davranır. Bu tür akışkanlara Bingham Plastikleri de denilmektedir.

İdeal Akışkan nedir?
Moleküller arası kayma gerilmesi olmayan yani sürtünmesiz akışkanlardır. Başka bir deyişle viskozitesi sıfırdır. Böyle bir akışkan doğada yoktur. Ancak sürtünmenin ihmal edilmesi varsayımı problemlerin çözülmesinde kolaylık sağlayacaktır.

NAVIER STOKES DENKLEMİ NEYİ İFADE EDER?

N-S DENKLEMİ

Klasik fizikte hareket denklemi nasıl Hamiltonyenle ifade ediliyorsa Akışkanlar Mekaniğinde Navier-Stokes Denklemi akışların hareket denklemidir diyebiliriz.

Bu denklem: daimi olmayan, doğrusal olmayan, ikinci mertebeden bir kısmi diferansiyel denklemdir. Ne yazık ki çok basit akış alanları dışında denklemin çözümleri elde edilemez.

‘’Akışkan’’ demekle neyi kastediyoruz?

• Fiziksel: sıvılar veya gazlar
• Matematiksel:

Bir skaler alan p  (Akışkanın basıncını gösterir)

Bir vektör alanı u (akışkanın hızını gösterir) 

Akışkanın yoğunluğu(d) akışkanın viskozitesi (v)

Newton tipi sıkıştırılamaz akışkanlar için Süreklilik ve Navier Stokes Denklemleri

Süreklilik ve Navier-Stokes denklemlerinin kullanışlı olduğu iki tür uygulama alanı vardır.
Bilinen bir hız alanı için basınç alanının hesaplanması
Bilinen geometri ve sınır şartları için hem hız hem de basınç
alanlarının hesaplanması


•Öncelikle belirtelim ki Navier-Stokes denkleminin kendisi tam çözüm değildir, tersine kendine özel yaklaştırımları içeren bir akış modelidir. Bununla birlikte mükemmel bir modeldir ve modern akışkanlar mekaniğinin temelini oluşturur.

•Bir yaklaşık çözüm, çözüme başlamadan önce bile Navier-Stokes denkleminin akışın bir bölgesinde basitleştirildiği çözüm olarak tanımlanır.

Navier-Stokes denklemi için yaklaştırımları

• Viskoz olmayan akış bölgeleri için yaklaştırım
• Sürünme akışı yaklaştırımı
• Sınır tabaka yaklaştırımı

Uğur Korkmaz 

Kaynaklar:

Akışkanlar Mekaniği temelleri ve uygulamaları
Yunus A. ÇENGEL&John M. CIMBALA
Akışkanlar Mekaniği
Doç. Dr. Muhittin SOĞUKOĞLU
Fundamental Mechanics of Fluids I.G. Currie
Akışkanlar Mekaniği Prof. Dr. Bekir Zühtü UYSAL
Akışkanlar Mekaniğine Giriş Cahit ÇIRAY ODTÜ yayınları